TYPE DE MATRICES



COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Systèmes linéaires

2. Transformations linéaires

3. Matrices

3.1. Opérations sur les matrices

3.2. Types de matrices

3.3. Changements de base

3.4. Déterminants

3.4.1. Dérivée d'un déterminant

3.4.2. Inverse d'une matrice

4. Valeurs et vecteurs propres

4.1. Matrices de rotation

4.2. Théorème spectral

Afin de simplifier les notations et la longueur des calculs nous allons introduire ici les matrices types que le lecteur pourra rencontrer tout au long de sa lecture du site (et pas que dans la partie de mathématiques pures!).

Définitions:

D1. Soit A une matrice carrée (c'est-à-dire equation). La matrice A est dite "matrice inversible" ou "matrice régulière" si et seulement siequation est telle que :

equation   (13.44)

où :

equation   (13.45)

si tel n'est pas le cas, nous disons que A est une "matrice singulière".

Cette définition est fondamentale, elle a des conséquences extrêmement importantes dans tout l'algèbre linéaire et aussi dans la physique (résolution de système linéaires, déterminant, vecteurs et valeurs propres, etc.) il convient donc de s'en souvenir.

D2. Soit :

equation   (13.46)

une matrice de equation. Nous appelons "matrice transposée" de A, la matricée notée equation(le T en exposant est selon les ouvrages en majuscule ou en minuscule), de equation définie par (nous mettons les lignes en colonnes et les colonnes en lignes) :

equation   (13.47)

Voici quelques propriétés intéressantes (nous seront par ailleurs utiles plus tard lors d'un théorème fameux!) de la transposée:

equation   (13.48)

et aussi une propriété importante de la matrice transposée (la vérification se fait aussi par l'exemple) :

equation   (13.49)

La matrice transposée est très important en physique et en mathématique dans le cadre de la théorie des groupes et symétries! Il convient donc aussi de se souvenir de sa définition.

D3. Soit :

equation   (13.50)

une matrice de equation. Nous appelons "matrice adjointe" de A, la matricée, de equation définie par :

equation   (13.51)

qui est donc la complexe conjuguée de la matrice transposée ou si vous préférez... la transposée de la matrice conjuguée A (dans le cas de coefficient réels... on se passera de la conjuguer!). Pour simplifier les écritures nous la notons simplement equation (écriture fréquente en physique quantique et algèbre ensembliste).

Remarques: Relation triviale (qui sera souvent utilisée en physique quantique des champs) : 

equation   (13.52)

D4. Par définition, une matrice est dite "matrice hermitique" ou "matrice hermitienne" ou "matrice self-adjointe" ou encore "matrice autoadjointe"... si elle est égale à son adjointe (matrice transposée conjuguée) tel que :

equation   (13.53)

D5. Soit A une matrice carrée de equation, la "trace" de A, notée equation est définie par :

equation   (13.54)

Quelques relations utiles y relatives (dont nous pouvons rajouter les démonstrations détaillées sur demande) :

equation   (13.55)

D6. Une matrice A est dite "matrice nilpotent" si en la multipliant successivement par elle-même elle peut donner zéro. En clair, s'il existe un entier equation tel que :

equation   (13.56)

Remarque: Pour se souvenir de se mot, nous le décomposons en "nil" pour nulle et "potent" pour potentiel. Ainsi, quelque chose de nilpotent est donc quelque chose qui est potentiellement nul.

D7. Une matrice A est dite "matrice orthogonale" si ses éléments sont réels et si elle obéit à :

equation   (13.57)

ce qui se traduit par (où equation est le symbole de Kronecker) :

equation   (13.58)

Les vecteurs colonnes de la matrice sont donc normés à l'unité et orthogonaux entre eux (ou de même avec ses lignes!). Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormée!

Remarques:

R1. C'est typiquement le cas de la matrice de la base canonique, ou de toute matrice diagonalisable.

R2. Si au lieu de prendre simplement une matrice avec des coefficients réels, nous prenons une matrice à coefficients complexes avec sa transposée complexe (matrice adjointe). Alors, nous disons que A est une "matrice unitaire" si elle satisfait à la relation ci-dessus!

Nous reviendrons plus tard, après avoir présenté les concepts de vecteurs et valeurs propres, sur un cas particulier et très important de matrices orthogonales (appelées "matrices de translations").

Signalons encore une autre propriété importante en géométrie, physique et statistiques des matrices orthogonales.

Soit equation, où A est une matrice orthogonale et equation. Alors f (respectivement A) est une isométrie. C'est-à-dire que:

equation   (13.59)

Démonstration:

equation   (13.60)

et donc nous avons bien :

equation   (13.61)

Donc en d'autres termes : Les matrices orthogonales sont des applications linéaires qui conservent la norme (les distances).

equationC.Q.F.D.

D8. Soit equationune matrice carrée. La matrice A est dite "matrice symétrique" si et seulement si :

equation   (13.62)

Nous retrouverons cette définition en calcul tensoriel.

D9. Soit equationune matrice carrée. La matrice A est dite "matrice anti-symétrique" si et seulement si :

equation   (13.63)

ce qui impose que :

equation   (13.64)

Nous retrouverons cette définition dans le chapitre de Calcul Tensoriel.

D10. Soit equationune matrice carrée. La matrice A est dite "matrice triangulaire supérieure" si et seulement si :

equation   (13.65)

D11. Soit Soit equationune matrice carrée. La matrice A est dite "matrice triangulaire inférieure" si et seulement si :

equation   (13.66)

D12. Soit equation, une matrice carrée. La matrice D est dite "matrice diagonale" si et seulement si :

equation   (13.67)

La notation habituelle d'une matrice diagonale D étant :

equation   (13.68)

D13. Soient E un espace vectoriel, de dimension n et deux bases equation de E :

equation   (13.69)

Nous appelons "matrice de passage" de la base equation à la base equation, et nous noterons P la matrice de equation dont les colonnes sont formées des composantes des vecteurs de equation sur la base equation (voir plus loin traitement détaillé des changements de base pour plus d'infos).

Nous considérons le vecteur equation de E qui s'écrit dans les bases equation et equation suivant les relations :

equation   (13.70)

Soit :

equation   (13.71)

le vecteur de equation formé des composantes de equation dans la base equation et respectivement le vecteur formé des composantes de equation dans la base equation. Alors :

equation   (13.72)

relation pour laquelle la démonstration détaillée sera donnée plus loin lors de notre étude des changements de base. Nous avons également:

equation   (13.73)

Remarques:

R1. Si lorsqu'un vecteur est donné et que sa base n'est pas spécifiée, c'est qu'il s'agit dès lors implicitement de la base canonique:

equation   (13.74)

qui laisse invariant la multiplication par un vecteur quelconque et lorsque la base utilisée est notée equation et n'est pas spécifiée, c'est qu'il s'agit également de la base canonique.

R2. Si un vecteur est donnée par rapport à la base canonique, ces composantes sont dites "covariantes", dans le cas contraire, où si elles sont exprimées après suite dans une autre base non canonique, alors nous disons que les composantes sont "contravariantes" (pour plus de précisions sur le sujet voir le chapitre de calcul tensoriel).


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