THÉORÈME SPECTRAL



COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Systèmes linéaires

2. Transformations linéaires

3. Matrices

3.1. Opérations sur les matrices

3.2. Types de matrices

3.3. Changements de base

3.4. Déterminants

3.4.1. Dérivée d'un déterminant

3.4.2. Inverse d'une matrice

4. Valeurs et vecteurs propres

4.1. Matrices de rotation

4.2. Théorème spectral

Voyons maintenant un théorème très important relativement aux valeurs et vecteurs propres qui se nomme le "théorème spectral" qui nous sera très utile à nouveau en physique et en statistiques.

Pour résumer, les mathématiciens disent dans leur langage que le théorème spectral permet d'affirmer la diagonalisabilité d'endomorphismes (de matrices) et justifie également la décomposition en valeurs propres.

Pour simplifier la démonstration, nous ne traitons ici que les matrices réelles en évitant un maximum le langage des mathématiciens.

Nous noterons dans un premier temps equation l'ensemble des matrices equation à coefficients réels. Nous confondrons la  matrice equationavec l'application linéaire induite sur l'espace vectoriel equation par equation (equation).

Rappel : Nous avons vu lors de l'étude des changements de base que si equation une base de equation etequation alors a matrice de l'application linéaire M dans la base equation est equation où S est la matrice formée par les vecteurs colonnes equation.

D'abord, nous vérifions simplement que si A est une matrice symétrique alors :

equation   (13.183)

Nous nous proposons maintenant d'étudier les propriétés suivantes d'une matrice M symétrique :

P1. Toutes les valeurs propres de M sont réelles.

Démonstration:

Soit :

equation   (13.184)

un vecteur propre à priori complexe de valeur propreequation. Notons :

equation   (13.185)

le vecteur conjugué de equation. Nous avons alors :

equation   (13.186)

D'autre part vu queequation nous avons :

equation   (13.187)

Etant donné que equation nous avons equation et par suite, equation.

equationC.Q.F.D.

P2. Deux espaces propres de M relatifs à des valeurs propres différentes sont orthogonaux (en d'autres termes, les vecteurs propres sont indépendants).

Démonstration:

Soit equation deux valeurs propres distinctes de vecteurs propres correspondants equation. Nous avons (ne pas oublier que M est symétrique!) :

equation   (13.188)

ainsi :

equation   (13.189)

ce qui entraîne:

equation   (13.190)

equationC.Q.F.D.

Avant d'aller plus loin, il nous faut aussi démontrer que si equation est une matrice symétrique et V un sous espace vectoriel de equation invariant par M (c'est-à-dire qui vérifie pour tout equation) alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. L'orthogonal de V noté equation (obtenu par la méthode de Grahm-Schmidt vue dans le chapitre de calcul vectoriel) est aussi invariant par M.

Démonstration:

Soit equation etequation alors :

equation   (13.191)

ce qui montre que equation.

equationC.Q.F.D.

P2. Si equation est une base orthonormale de equation alors la matrice de la restriction de M à equation dans la base equation est aussi symétrique.

Démonstration:

Notons equation la matrice de la restriction de M à equation dans la baseequation. Nous avons par définition pour tout equation (puisque le vecteur résultant d'une application linéaire comme M peut s'exprimer dans sa base) :

equation   (13.192)

 Or :

equation   (13.193)

car equation si equation dans la base orthonormale.

D'un autre coté :

equation   (13.194)

Donc equation ce qui montre queequation.

equationC.Q.F.D.

Nous allons à présent pouvoir montrer que toute matrice symétrique equation est diagonalisable. C'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible S telle que equation soit diagonale.

Remarque: En fait nous verrons, pour être plus précis, qu'il existe S orthogonale telle que equation soit diagonale.

Rappel : S orthogonale signifie que equation (où I est la matrice identité) ce qui équivaut à dire que les colonnes de S forment une base orthonormale de equation.

Donc allons-y et pour cela considérons equation une matrice symétrique. Alors nous souhaitons démontrér qu'il existe une matrice S orthogonale telle que equation soit diagonale (en d'autres termes, il existe une base où M est diagonalisable).

Démonstration:

Nous prouvons l'affirmation par récurrence sur n. Si equation il n'y a rien à montrer. Supposons que l'affirmation soit vérifiée pour equation et prouvons là pourequation. Soit donc equation une matrice symétrique et equation une valeur propre de M.

Nous vérifions facilement que l'espace propre equation est invariant par M  (il suffit de prendre n'importe quelle application numérique) et que par la démonstration vue plus haut que equation est aussi invariant par M. De plus, nous savons (cf. chapitre de calcul vectoriel), que equation se décompose en somme directeequation.

Si equation, equationet il suffit de prendre un base orthonormale de W pour diagonaliser M. En effet si  equation est une telle base, la matrice equation formée par les vecteurs colonnes equation (equation) est orthogonale et vérifie :

equation   (13.195)

equationest bien diagonale.

Supposons donc equation et soit equation avec equationune base orthonormale deequation. Notons A la matrice de la restriction de M à equation dans la baseequation. A est aussi symétrique (selon la démonstration d'une des propriétés précédents).

Par hypothèse de récurrence il existe une matrice equation orthogonale telle que equation soit diagonale.

Notons par equation une base orthonormale  de W  et G la matrice formée par les vecteurs colonnesequation. Alors, nous pouvons écrire que :

equation   (13.196)

et G est aussi orthogonale par construction.

Considérons la matrice par blocs (matrice composée de matrices) suivante :

equation   (13.197)

et posonsequation. Il est évident que S est orthogonale  car G et L le sont. Effectivement, si equationet equationalors (ne pas oublier que la multiplication matricielle est associative):

equation   (13.198)

De plus S vérifie :

equation   (13.199)

Et  alors :

equation   (13.200)

est bien diagonale.

equationC.Q.F.D.

Pour finir voici donc le "théorème spectral" (cas réel): Siequation une matrice symétrique alors il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de M.

Démonstration:

Nous avons donc vu dans les paragraphes précédents qu'il existe S orthogonale telle que equation soit diagonale. Notons equation les colonnes de S. equation est une base orthonormale de equation car S est orthogonale. Notant equation le i-ème vecteur de la base canonique de equation et equation le i-ème coefficient diagonal de equation nous avons sans supposer directement que equation est une valeur propre pour l'instant :

equation   (13.201)

en multipliant par S des deux côtés de l'égalité nous avons :

equation   (13.202)

et donc :

equation

ce qui montre que equation sont des vecteurs propres et equation les valeurs propres.

equationC.Q.F.D.