DÉTERMINANTS

COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Systèmes linéaires

2. Transformations linéaires

3. Matrices

3.1. Opérations sur les matrices

3.2. Types de matrices

3.3. Changements de base

3.4. Déterminants

3.4.1. Dérivée d'un déterminant

3.4.2. Inverse d'une matrice

4. Valeurs et vecteurs propres

4.1. Matrices de rotation

4.2. Théorème spectral

Nous allons nous intéresser aux déterminants dans le point de vue du physicien (celui de mathématicien étant assez rébarbatif...). Fréquemment, en physique (que ce soit en mécanique ou physique quantique des champs), en chimie ou en ingénierie, nous aurons fréquemment des systèmes linéaires à résoudre. Or, nous avons vu maintenant qu'un système linéaire :

equation (13.75)

peut être écrit sous la forme :

equation (13.76)

et nous savons que les seuls systèmes linéaires résolubles sont ceux qui ont autant d'équations que d'inconnues. Ainsi, la matrice A doit être une matrice carrée .

Si une solution existe, il existe alors une matrice-colonne (ou "vecteur") tel que ce qui implique :

(13.77)

Qu'impose cette relation ? Eh bien c'est simple mais à la fois très important : pour qu'un système linéaire ait une solution, il faut que le la matrice A soit inversible ! Quel rapport avec le déterminant alors ? C'est simple : les mathématiciens ont cherché comment s'écrivaient les inverses des matrices de systèmes linéaires dont ils savaient qu'il y avait une solution et ils sont arrivés après tâtonnements à déterminer une sorte de formule qui permette de vérifier si la matrice est inversible ou non. Une fois cette formule trouvée, ils ont formalisé (comme ils savent si bien le faire...), avec une très bonne rigueur, le concept entourant cette formule qu'ils ont appelé "déterminant". Ils y sont tellement bien arrivés d'ailleurs qu'on oublie parfois qu'ils ont procédé ainsi....

Remarque: Si une matrice d'un système linéaire n'est pas inversible, cela a pour conséquence qu'il existe soit aucune solution, soit une infinité de solutions (comme à l'habitude quoi...)

Nous allons ci-dessous d'abord nous intéresser à la manière de construire le déterminant en définissant un type d'application particulière. Ensuite, après avoir vu un exemple simple et interprétable du calcul d'un déterminant, nous nous attacherons à déterminer la formule de celui-ci dans le cas général. Enfin, une fois ceci fait, nous verrons quelle est la relation qui lie l'inverse d'une matrice et le déterminant.

Dans ce qui suit tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie et sur le corps des nombres complexes (ceux qui le préfèrent pourront prendre comme corps de base, de fait nous pourrions prendre un corps quelconque).

D'abord nous allons faire un petit peu de mathématique (un peu rébarbative) avant de passer à du concret.

Soit V un espace vectoriel, nous écrirons au lieu de . désignera la base canonique de . est l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans .

Définitions:

D1. Une "application multilinéaire" sur un espace V est par définition une application qui est linéaire en chacune de ces composantes. C'est-à-dire :

equation (13.78)

pour tout et où les sont des vecteurs.

Remarque: Une application multilinéaire non nulle n'est pas une application linéaire de l'espace

dans

. Sauf si

. Effectivement, cela se vérifie de par la définition de l'application linéaire versus celle de l'application multilinéaire:

(13.79)

D2. Une "application multilinéaire alternée" sur V est par définition une application multilinéaire qui vérifie la condition suivante:

(13.80)

pour tout . Ainsi la permutation de deux vecteurs qui se suivent change le signe de .

Ainsi, si est une application multilinéaire, alors est alternée si et seulement si . nous avons :

(13.81)

Démonstration: étant définie comme alternée, nous avons donc :

equation (13.82)

C.Q.F.D.

et voilà ce qui nous intéresse :

D3. Un "déterminant" est par définition (par imposition) une application multilinéaire alternée vérifiant de plus :

(13.83)

Remarque: Les colonnes d'une matrice carrée forment n vecteurs et nous voyons donc qu'un déterminant D sur

induit une application

(où

est l'espace des matrices carrées

à coefficients dans

) définie par

où

est la i-ème colonne de M. Par la suite, nous ferons l'abus d'écriture qui consiste à confondre D et

Etudions le cas . Si D est un déterminant, pour tout vecteur :

(13.84)

nous avons :

(13.85)

Comme D est multilinéaire, nous avons :

equation (13.86)

et comme elle est surtout multilinéaire alternée, nous avons donc :

(13.87)

En fait, nous venons de montrer que si un déterminant existe, il est unique et de la forme indiquée ci-dessus, il faudrait encore vérifier que l'application ainsi définie satisfait les propriétés d'un déterminant, mais ce dernier point est immédiat.

Ainsi, si equation est une matrice nous avons donc :

(13.88)

Nous retrouvons donc la forme du déterminant tel que nous en avons fait mention en calcul vectoriel.

Donnons une interprétation géométrique du déterminant. Soit deux vecteurs de .

equation
(13.89)

Le vecteur est obtenu en projetant sur et nous avons donc :

equation et (13.90)

L'aire du parallélogramme ci-dessus est donc :

equation (13.91)

Si alors :

(13.92)

et donc :

equation (13.93)

Ainsi le déterminant représente au signe près l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs lorsque ceux-ci sont linéairement indépendants. Nous pouvons généraliser ce résultat à une dimension n quelconque, en particulier, pour , le déterminant de trois vecteurs linéairement indépendants représente le volume du parallélépipède défini par ces derniers.

Le cas plus général de l'expression du déterminant est un peu plus délicat à établir. Il faut pour cela que nous définissions une application bijective particulière mais simple que nous avions déjà rencontrée dans le chapitre Statistique.

Définition: Soit nous appelons "permutation" de toute application bijective de dans :

(13.94)

Soit l'ensemble des permutations (applications bijectives) possibles de . contient bien évidemment... (voir la combinatoire dans le chapitre de probabilités) n! éléments. La donnée d'un élément de est définie par les données successives de :

equation (13.95)

Etant donnée une suite d'éléments ordonnées (croissants) d'éléments , nous appelons "inversion", toute permutation d'éléments dans la suite ordonnée (donc la suite ne sera plus ordonnée du tout...). Nous notons le nombre d'inversions.

Nous disons que la permutation est pair (impair) si est pair (impair). Nous appelons "signature" de , le nombre noté défini par , c'est-à-dire :

(13.96)

Nous avons maintenant les outils en place nécessaire à définir de manière générale la formule du déterminant :

Définition: Soit :

(13.97)

Nous appelons "déterminant de A", et nous notons det(A), le scalaire K défini par (nous verrons un exemple plus loin) :

(13.98)

Exemples:

E1. Soit , considérons les permutations des seconds indices (des entiers 1,2) pris dans leur ensemble :

(13.99)

Nous calculons les signatures de . Voici le schéma de cette règle (rappel : nous disons donc... qu'il y a "inversion", si dans une permutation, un entier supérieur précède un entier inférieur) :


Nombre d'inversions	0	1
Permutation	Paire	Impaire
	+1	-1

Tableau: 13.1 - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 2

Donc nous avons :

equation (13.100)

Ce qui correspond bien à ce que nous avions vu initialement.

E2. Soit , considérons les permutations des seconds indices (des entiers 1,2,3) pris dans leur ensemble :

(13.101)

	123	132	213	231	312	321
Nombre d'inversions	0	1	1	2	2	3
Permutation	Paire	Impaire	Impaire	Paire	Paire	Impaire
	+1	-1	-1	+1	+1	-1

Tableau: 13.2 - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 3

Donc nous avons :

equation (13.102)

Remarque: Certaines personnes apprennent par coeur une méthode nommée "règle de Sarrus" pour calculer les déterminants d'ordre trois comme le précédent. Nous lui préférerons sur ce site la formulation générale du déterminant applicable à tous les ordres.

Voyons quelques propriétés et corollaires de cette formulation du déterminant :

P1. Soit une matrice carrée d'ordre n, nous ne changeons pas la valeur du déterminant de en :

1. Effectuant une opération élémentaire sur les colonnes de

2. Effectuant une opération élémentaire sur les lignes de

Démonstration: Si alors est composée de n vecteurs colonnes :

equation (13.103)

Effectuer une opération élémentaire sur les colonnes de revient à addition à une des colonnes de . Soit la matrice obtenue en additionnant à la j-ème colonne de , nous avons :

(13.104)

Par multilinéarité (finalement la démonstration n'est vraiment pas bien dure) :

(13.105)

et comme le déterminant est alterné :

(13.106)

Pour ce qui est des opérations élémentaires sur les lignes il suffit de considérer la transposée (c'est à pleurer tellement c'est simple mais il fallait y penser).

C.Q.F.D.

P2. Soit une matrice carrée d'ordre n et soit :

(13.107)

Démonstration: Comme précédemment, il suffit de remarquer que si sont les vecteurs colonnes constituant la matrice alors sont ceux qui constituent et :

(13.108)

L'application étant n-linéaire, nous aboutissons à l'égalité :

(13.109)

C.Q.F.D.

P3. Soit une matrice carrée d'ordre n. Nous changeons le signe du déterminant de si :

1. Nous permutons deux de ces colonnes

2. Nous permutons deux de ces lignes

Démonstration: est constituée des n vecteurs . Le déterminant de est égal au déterminant de ces n. Permuter deux colonnes de revient à permuter les deux vecteurs correspondant. Supposons que les vecteurs permutés soit le i-ème et le j-ème, l'application déterminant étant alternée, nous avons :

(13.110)

Pour ce qui est des lignes, il suffit de considérer les transposée de .

C.Q.F.D.

P4. Soit alors :

(13.111)

La démonstration peut se faire de deux manières, la première est assez indigeste et abstraite nous la laisserons aux mathématiciens (...) même si elle a l'avantage d'être générale, la seconde plus simple, consiste à vérifier cette assertions pour différentes matrices carrées.

Démonstration:

equation
(13.112)

Les calculs donnent donc des résultats qui sont bien identiques. Nous pouvons vérifier ainsi pour des matrices carrées de dimensions supérieures.

C.Q.F.D.

P5. Une matrice carrée est inversible si et seulement si .

Démonstration:

Si A est inversible, nous avons :

(13.113)

C.Q.F.D.

Il s'agit de la propriété la plus importante des matrices dans le cadre de la physique théorique car si A est un système linéaire, le calcul de son déterminant permet de savoir si celui-ci a des solutions uniques. Dans le cas contraire, comme nous en avons déjà fait mention, soit le système n'a aucune solution, soit une infinité !

Il faut considérer aussi un cas particulier important. Soit le système suivant :

(13.114)

où et à déterminer. Il est clair..., que A soit inversible ou non, la solution triviale est . Cependant..., imaginons un cas de physique théorique où nous avons mais pour lequel nous savons que et pour lequel nous imposons . Dans ce cas, ils nous faut éliminer la solution triviale . De plus, calculer l'inverse (s'il existe) de la matrice A ne nous ramènera à rien de concret mis à part à ce qui bien évidemment ne nous satisfait pas. La seule solution est alors de se débrouiller pour que les coefficients de la matrice A soient tels que son déterminant soit nul et donc la matrice non inversible! L'intérêt ? Eh, bien d'avoir une infinité de solutions possibles (de B donc !) qui satisfont . Nous aurons besoin de cette méthodologie en mécanique quantique ondulatoire, lorsque nous déterminerons l'existence des antiparticules par l'intermédiaire de l'équation de Dirac linéarisée. Il faudra donc s'en rappeler.

P6. Deux matrices "conjuguées" (attention, pas dans le sens complexe du terme) ont le même déterminant.

Démonstration:

Soit , et une matrice de passage d'une base à une autre (voir plus loin le traitement des changements de bases), nous avons alors :

equation (13.115)

C.Q.F.D.

P7. Pour toute matrice :

(13.116)

Démonstration:

(13.117)

Or (trivial... simple multiplication de tous les coefficients) :

(13.118)

Puisque (trivial) et que (cf. chapitre sur les Nombres), nous pouvons alors écrire :

equation (13.119)

C.Q.F.D.

P8. Pour toute matrice :

(13.120)

Démonstration:

Ben... c'est la même chose que pour la propriété précédente mais sans les valeurs conjuguées... De fait, nous montrons de la même manière, la même propriété pour .

C.Q.F.D.

P6. Soit une matrice , nous noterons la matrice obtenue à partir de A en effaçant la i-ème ligne et la j-ème colonne. appartient donc à . Alors pour tout :

equation (13.121)

où le terme:

(13.122)

est appelé le "cofacteur" .

Démonstration:

Définissons pour cela l'application :

equation (13.123)

Il est facile de voir que est multilinéaire (il suffit de considérer comme une simple constante et ensuite par extension de la définition du déterminant... trop facile...).

Montrons cependant qu'elle est alternée (dans ce cas, c'est un déterminant qui a toutes les propriétés d'un déterminant) :

Soit deux vecteurs colonne de A qui se suivent. Supposons que , il faut montrer que dans ce cas (qui découle de la définition d'une application alternée).

Nous avons premièrement (c'est obligatoire de par la définition) si nous n'effaçons aucune des colonnes j étant k ou k + 1:

si (13.124)

et nous avons bien évidemment si nous enlevons l :

(13.125)

Donc :

(13.126)

C'est donc OK. Elle est alternée et multilinéaire, il s'agit donc bien d'un déterminant.

Nous venons donc de montrer que est un déterminant et par unicité nous a pour tout .

C.Q.F.D.

Voyons un exemple de cette méthode en calculant le déterminant de :

equation (13.127)

Développons selon la deuxième ligne . Nous obtenons :

equation (13.128)

Développons selon la première colonne en guise de vérification (on ne sait jamais...) :

equation (13.129)

Le calcul déterminé ci-dessus est donc exponentiel car si par exemple nous devons calculer le déterminant d'un matrice d'ordre 10 alors le déterminant sera développé la somme de 10 termes, dont chacun contient les déterminant d'un matrice d'ordre 9, qui est un cofacteur de la matrice de départ. Si nous développons n'importe lequel de ces déterminants, nous obtenons une somme de 9 déterminants dont chacun contient le déterminant d'un matrice d'ordre 8. A ce stade, il y a donc 90 déterminants de matrices d'odre 8 à calculer. Le processus pourrait se poursuivre jusqu'à ce qu'il ne reste que des déterminants d'ordre 2. Et alors là nous devinons que le nombre de matrice d'ordre 2 est très conséquent!

Définition: Soit m, n deux entiers positifs quelconques et A une matrice à coefficients dans . Pour tout entier un "mineur d'ordre k" de A est un déterminant du type:

equation avec (13.130)

Dans le cas particulier d'un matrice carée d'ordre la définition est plus simple: Le mineur de l'élément est le déterminant de la matrice d'ordre n - 1 obtenue en suppirmant la ligne i et la colonne j. Ainsi, pour calculer le mineur d'un élément, nous supprimons la ligne et la colonne auxquelles l'élément appartient, puis nous calculons le déterminant de la matrice carrée restante.

Pour finir nous terminons en donnant une formule qui relie les coefficients de l'inverse d'une matrice avec ces mineurs d'ordre .

DÉRIVÉE D'UN DÉTERMINANT

Voyons maintenant un résultat qui nous sera fort utile en relativité générale.

Soit une matrice carrée avec des fonctions dérivables. Posons . Nous voulons calculer . Soit le i-ème vecteur colonne de la matrice G. Utilisons la formule :

(13.131)

Sachant que la dérivée de est (dérivée de n produits) :

equation (13.132)

nous avons donc :

equation (13.133)

Si nous regardons la première somme ci-dessus, nous remarquons que:

equation (13.134)

où est la dérivée du vecteur . De même pour les sommes suivantes. Ainsi,

(13.135)

Développons encore. Considérons le terme ci-dessus. Si nous le développons par rapport à la première colonne, nous obtenons :

(13.136)

De même, en développant le j-ème terme de la somme ci-dessus par rapport à la j-ème colonne nous avons :

(13.137)

Si nous posons :

(13.138)

nous obtenons :

equation (13.139)

ce qui en notation tensorielle (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) s'écrit :

(13.140)

Nous avons aussi :

(13.141)

où est le coefficient se trouvant à la j-ème ligne, i-ème colonne de la matrice . Si nous notons le coefficient i, j de la matrice alors :

et (13.142)

L'expression de la dérivée devient finalement :

equation (13.143)

qui s'écrit en notation tensorielle :

(13.144)

Ce résultat, finalement assez simple, nous sera utile dans le chapitre de Calcul Tensoriel, pour construire les outils nécessaires à l'étude de la relativité générale et à la détermination de l'équation d'Einstein des champs. Il convient donc de s'en rappeler.

INVERSE D'UNE MATRICE

Terminons notre étude des déterminants avec la cerise sur le gâteau en donnant une relation très importante dans de nombreus domaines de l'ingénierie, de la physique et de la mathématique qui relie les coefficients de l'inverse d'une matrice avec ces mineurs d'ordre (nous allons utiliser cette relation plus loin).

Soit une matrice inversible. Notons et . Alors :

(13.145)

Démonstration:

Notons le k-ème vecteur colonne de la matrice A. Sachant que , nous avons (trivial) :

(13.146)

Calculons . D'une part en développant par rapport à la k-ème colonne nous trouvons (puisque qu'un seul des coefficients de est non nul et que l'unique non nul est égal à l'unité) :

(13.147)

D'autre part (propriétés du déterminant) :

equation (13.148)

Ainsi :

(13.149)

c'est-à-dire :

(13.150)

C.Q.F.D.

CHANGEMENTS DE BASES

Supposons que nous passions d'une base d'un espace à une autre base de ce même espace.

Décomposons les dans la base :

equation (13.151)

Définition: Nous appelons "matrice de transition" ou "matrice de passage", la matrice (l'application linéaire) qui permet de passer de donnée par :

equation (13.152)

Maintenant, considérons le vecteur donné par . Alors nous nous proposons de démontrer que les composantes de dans la base sont données par :

equation (13.153)

ou:

equation (13.154)

Remarque: La matrice P est inversible, car ses colonnes sont linéairement indépendantes (ce sont les vecteurs

décomposés dans la base

et les

sont linéairement indépendants car ils forment une base).

Démonstration:

Prenons pour simplifier le cas (la démonstration étant assez facilement généralisable...) avec et .

Nous avons alors :

equation (13.155)

Nous avons donc et nous cherchons à exprimer dans la base tel que . Nous allons chercher l'application linéaire qui relie ces deux relations telles que: