DÉTERMINANTS



COURS SUR L'ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Systèmes linéaires

2. Transformations linéaires

3. Matrices

3.1. Opérations sur les matrices

3.2. Types de matrices

3.3. Changements de base

3.4. Déterminants

3.4.1. Dérivée d'un déterminant

3.4.2. Inverse d'une matrice

4. Valeurs et vecteurs propres

4.1. Matrices de rotation

4.2. Théorème spectral

Nous allons nous intéresser aux déterminants dans le point de vue du physicien (celui de mathématicien étant assez rébarbatif...). Fréquemment, en physique (que ce soit en mécanique ou physique quantique des champs), en chimie ou en ingénierie, nous aurons fréquemment des systèmes linéaires à résoudre. Or, nous avons vu maintenant qu'un système linéaire :

equation   (13.75)

peut être écrit sous la forme :

equation   (13.76)

et nous savons que les seuls systèmes linéaires résolubles sont ceux qui ont autant d'équations que d'inconnues. Ainsi, la matrice A doit être une matrice carrée equation.

Si une solution existe, il existe alors une matrice-colonne (ou "vecteur") equation tel que equation ce qui implique :

equation   (13.77)

Qu'impose cette relation ? Eh bien c'est simple mais à la fois très important : pour qu'un système linéaire ait une solution, il faut que le la matrice A soit inversible ! Quel rapport avec le déterminant alors ? C'est simple : les mathématiciens ont cherché comment s'écrivaient les inverses des matrices de systèmes linéaires dont ils savaient qu'il y avait une solution et ils sont arrivés après tâtonnements à déterminer une sorte de formule qui permette de vérifier si la matrice est inversible ou non. Une fois cette formule trouvée, ils ont formalisé (comme ils savent si bien le faire...), avec une très bonne rigueur, le concept entourant cette formule qu'ils ont appelé "déterminant". Ils y sont tellement bien arrivés d'ailleurs qu'on oublie parfois qu'ils ont procédé ainsi....

Remarque: Si une matrice d'un système linéaire n'est pas inversible, cela a pour conséquence qu'il existe soit aucune solution, soit une infinité de solutions (comme à l'habitude quoi...)

Nous allons ci-dessous d'abord nous intéresser à la manière de construire le déterminant en définissant un type d'application particulière. Ensuite, après avoir vu un exemple simple et interprétable du calcul d'un déterminant, nous nous attacherons à déterminer la formule de celui-ci dans le cas général. Enfin, une fois ceci fait, nous verrons quelle est la relation qui lie l'inverse d'une matrice et le déterminant.

Dans ce qui suit tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie et sur le corps equation des nombres complexes (ceux qui le préfèrent pourront prendre equation comme corps de base, de fait nous pourrions prendre un corps quelconque).

D'abord nous allons faire un petit peu de mathématique (un peu rébarbative) avant de passer à du concret.

Soit V un espace vectoriel, nous écrirons equation au lieu de equation. equation désignera la base canonique de equation. equation est l'ensemble des matrices carrées equation à coefficients dans equation.

Définitions:

D1. Une "application multilinéaire" sur un espace V est par définition une application equation qui est linéaire en chacune de ces composantes. C'est-à-dire :

equation   (13.78)

pour tout equation et equation où les equation sont des vecteurs.

Remarque: Une application multilinéaire non nulle n'est pas une application linéaire de l'espace equation dans equation. Sauf si equation. Effectivement, cela se vérifie de par la définition de l'application linéaire versus celle de l'application multilinéaire:

equation   (13.79)

D2. Une "application multilinéaire alternée" sur V est par définition une application multilinéaire qui vérifie la condition suivante:

equation   (13.80)

pour tout equation. Ainsi la permutation de deux vecteurs qui se suivent change le signe de equation.

Ainsi, si equation est une application multilinéaire, alors equation est alternée si et seulement si equation. nous avons :

equation   (13.81)

Démonstration: equation étant définie comme alternée, nous avons donc :

equation   (13.82)

equationC.Q.F.D.

et voilà ce qui nous intéresse :

D3. Un "déterminant" est par définition (par imposition) une application multilinéaire alternée equation vérifiant de plus :

equation   (13.83)

Remarque: Les colonnes d'une matrice carrée forment n vecteurs et nous voyons donc qu'un déterminant D sur equation induit une application equation de equation (où equation est l'espace des matrices carrées equation à coefficients dans equation) définie par equationequation est la i-ème colonne de M. Par la suite, nous ferons l'abus d'écriture qui consiste à confondre D et equation.

Etudions le cas equation. Si D est un déterminant, pour tout vecteur :

equation   (13.84)

nous avons :

equation   (13.85)

Comme D est multilinéaire, nous avons :

equation   (13.86)

et comme elle est surtout multilinéaire alternée, nous avons donc :

equation   (13.87)

En fait, nous venons de montrer que si un déterminant existe, il est unique et de la forme indiquée ci-dessus, il faudrait encore vérifier que l'application ainsi définie satisfait les propriétés d'un déterminant, mais ce dernier point est immédiat.

Ainsi, si equation est une matrice nous avons donc :

equation   (13.88)

Nous retrouvons donc la forme du déterminant tel que nous en avons fait mention en calcul vectoriel.

Donnons une interprétation géométrique du déterminant. Soit equation deux vecteurs de equation.

equation
  (13.89)

Le vecteur equation est obtenu en projetant equation sur equation et nous avons donc :

equation et equation   (13.90)

L'aire du parallélogramme ci-dessus est donc :

equation   (13.91)

Si equation alors :

equation   (13.92)

et donc :

equation   (13.93)

Ainsi le déterminant représente au signe près l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs equation lorsque ceux-ci sont linéairement indépendants. Nous pouvons généraliser ce résultat à une dimension n quelconque, en particulier, pour equation, le déterminant de trois vecteurs linéairement indépendants représente le volume du parallélépipède défini par ces derniers.

Le cas plus général de l'expression du déterminant est un peu plus délicat à établir. Il faut pour cela que nous définissions une application bijective particulière mais simple que nous avions déjà rencontrée dans le chapitre Statistique.

Définition: Soit equationnous appelons "permutation" de equation toute application bijective de equation dans equation :

equation   (13.94)

Soit equation l'ensemble des permutations (applications bijectives) possibles de equation. equation contient bien évidemment... (voir la combinatoire dans le chapitre de probabilités) n! éléments. La donnée d'un élément equation de equation est définie par les données successives de :

equation   (13.95)

Etant donnée une suite d'éléments ordonnées (croissants) d'éléments equation, nous appelons "inversion", toute permutation d'éléments dans la suite ordonnée (donc la suite ne sera plus ordonnée du tout...). Nous notons equation le nombre d'inversions.

Nous disons que la permutation equation est pair (impair) si equation est pair (impair). Nous appelons "signature" de equation, le nombre noté equation défini par equation, c'est-à-dire :

equation   (13.96)

Nous avons maintenant les outils en place nécessaire à définir de manière générale la formule du déterminant :

Définition: Soit :

equation   (13.97)

Nous appelons "déterminant de A", et nous notons det(A), le scalaire K défini par (nous verrons un exemple plus loin) :

equation   (13.98)

exempleExemples:

E1. Soit equation, considérons les equation permutations des seconds indices (des entiers 1,2) pris dans leur ensemble :

equation   (13.99)

Nous calculons les signatures de equation. Voici le schéma de cette règle (rappel : nous disons donc... qu'il y a "inversion", si dans une permutation, un entier supérieur précède un entier inférieur) :

equation

equation

equation

Nombre d'inversions

0

1

Permutation

Paire

Impaire

equation

+1

-1

Tableau: 13.1  - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 2

Donc nous avons :

equation   (13.100)

Ce qui correspond bien à ce que nous avions vu initialement.

E2. Soit equation, considérons les equation permutations des seconds indices (des entiers 1,2,3) pris dans leur ensemble :

equation   (13.101)

Nous calculons les signatures de equation. Voici le schéma de cette règle (rappel : nous disons donc... qu'il y a "inversion", si dans une permutation, un entier supérieur précède un entier inférieur) :

equation

123

132

213

231

312

321

Nombre d'inversions

0

1

1

2

2

3

Permutation

Paire

Impaire

Impaire

Paire

Paire

Impaire

equation

+1

-1

-1

+1

+1

-1

Tableau: 13.2  - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 3

Donc nous avons :

equation   (13.102)

Remarque: Certaines personnes apprennent par coeur une méthode nommée "règle de Sarrus" pour calculer les déterminants d'ordre trois comme le précédent. Nous lui préférerons sur ce site la formulation générale du déterminant applicable à tous les ordres.

Voyons quelques propriétés et corollaires de cette formulation du déterminant :

P1. Soit equation une matrice carrée d'ordre n, nous ne changeons pas la valeur du déterminant de equation en :

1. Effectuant une opération élémentaire sur les colonnes de equation

2. Effectuant une opération élémentaire sur les lignes de equation

Démonstration: Si equation alors equation est composée de n vecteurs colonnes :

equation   (13.103)

Effectuer une opération élémentaire sur les colonnes de equation revient à addition equation à une des colonnes equation de equation. Soit equation la matrice obtenue en additionnant equation à la j-ème colonne de equation, nous avons :

equation   (13.104)

Par multilinéarité (finalement la démonstration n'est vraiment pas bien dure) :

equation   (13.105)

et comme le déterminant est alterné :

equation   (13.106)

Pour ce qui est des opérations élémentaires sur les lignes il suffit de considérer la transposée (c'est à pleurer tellement c'est simple mais il fallait y penser).

equationC.Q.F.D.

P2. Soit equation une matrice carrée d'ordre n et soit equation :

equation   (13.107)

Démonstration: Comme précédemment, il suffit de remarquer que si equation sont les vecteurs colonnes constituant la matrice equation alors equation sont ceux qui constituent equation et :

equation   (13.108)

L'application étant n-linéaire, nous aboutissons à l'égalité :

equation   (13.109)

equationC.Q.F.D.

P3. Soit equation une matrice carrée d'ordre n. Nous changeons le signe du déterminant de equation si :

1. Nous permutons deux de ces colonnes

2. Nous permutons deux de ces lignes

Démonstration: equation est constituée des n vecteurs equation. Le déterminant de equation est égal au déterminant de ces n. Permuter deux colonnes de equation revient à permuter les deux vecteurs correspondant. Supposons que les vecteurs permutés soit le i-ème et le j-ème, l'application déterminant étant alternée, nous avons :

equation   (13.110)

Pour ce qui est des lignes, il suffit de considérer les transposée de equation.

equationC.Q.F.D.

P4. Soit equation alors :

equation   (13.111)

La démonstration peut se faire de deux manières, la première est assez indigeste et abstraite nous la laisserons aux mathématiciens (...) même si elle a l'avantage d'être générale, la seconde plus simple, consiste à vérifier cette assertions pour différentes matrices carrées.

Démonstration:

equation
  (13.112)

Les calculs donnent donc des résultats qui sont bien identiques. Nous pouvons vérifier ainsi pour des matrices carrées de dimensions supérieures.

equationC.Q.F.D.

P5. Une matrice carrée equation est inversible si et seulement si equation.

Démonstration:

Si A est inversible, nous avons :

equation   (13.113)

equationC.Q.F.D.

Il s'agit de la propriété la plus importante des matrices dans le cadre de la physique théorique car si A est un système linéaire, le calcul de son déterminant permet de savoir si celui-ci a des solutions uniques. Dans le cas contraire, comme nous en avons déjà fait mention, soit le système n'a aucune solution, soit une infinité !

Il faut considérer aussi un cas particulier important. Soit le système suivant :

equation   (13.114)

equation et equation à déterminer. Il est clair..., que A soit inversible ou non, la solution triviale est equation. Cependant..., imaginons un cas de physique théorique où nous avons equation mais pour lequel nous savons que equation et pour lequel nous imposons equation. Dans ce cas, ils nous faut éliminer la solution triviale equation. De plus, calculer l'inverse (s'il existe) de la matrice A ne nous ramènera à rien de concret mis à part à equation ce qui bien évidemment ne nous satisfait pas. La seule solution est alors de se débrouiller pour que les coefficients equation de la matrice A soient tels que son déterminant soit nul et donc la matrice non inversible! L'intérêt ? Eh, bien d'avoir une infinité de solutions possibles (de B donc !) qui satisfont equation. Nous aurons besoin de cette méthodologie en mécanique quantique ondulatoire, lorsque nous déterminerons l'existence des antiparticules par l'intermédiaire de l'équation de Dirac linéarisée. Il faudra donc s'en rappeler.

P6. Deux matrices "conjuguées" (attention, pas dans le sens complexe du terme) ont le même déterminant.

Démonstration:

Soit equation, et equation une matrice de passage d'une base à une autre (voir plus loin le traitement des changements de bases), nous avons alors :

equation   (13.115)

equationC.Q.F.D.

P7. Pour toute matrice equation:

equation   (13.116)

Démonstration:

equation   (13.117)

Or (trivial... simple multiplication de tous les coefficients) :

equation   (13.118)

Puisque (trivial) equation et que equation (cf. chapitre sur les Nombres), nous pouvons alors écrire :

equation   (13.119)

equationC.Q.F.D.

P8. Pour toute matrice equation:

equation   (13.120)

Démonstration:

Ben... c'est la même chose que pour la propriété précédente mais sans les valeurs conjuguées... De fait, nous montrons de la même manière, la même propriété pour equation.

equationC.Q.F.D.

P6. Soit une matrice equation, nous noterons equation la matrice obtenue à partir de A en effaçant la i-ème ligne et la j-ème colonne. equation appartient donc à equation. Alors pour tout equation :

equation   (13.121)

où le terme:

equation   (13.122)

est appelé le "cofacteur" .

Démonstration:

Définissons pour cela l'application :

equation   (13.123)

Il est facile de voir que equation est multilinéaire (il suffit de considérer equation comme une simple constante et ensuite par extension de la définition du déterminant... trop facile...).

Montrons cependant qu'elle est alternée (dans ce cas, c'est un déterminant qui a toutes les propriétés d'un déterminant) :

Soit equation deux vecteurs colonne de A qui se suivent. Supposons que equation, il faut montrer que dans ce cas equation (qui découle de la définition d'une application alternée).

Nous avons premièrement (c'est obligatoire de par la définition) si nous n'effaçons aucune des colonnes j étant k ou k + 1:

equation si equation   (13.124)

et nous avons bien évidemment si nous enlevons l :

equation   (13.125)

Donc :

equation   (13.126)

C'est donc OK. Elle est alternée et multilinéaire, il s'agit donc bien d'un déterminant.

Nous venons donc de montrer que equation est un déterminant et par unicité nous a equation pour tout equation.

equationC.Q.F.D.

Voyons un exemple de cette méthode en calculant le déterminant de :

equation   (13.127)

Développons selon la deuxième ligne equation. Nous obtenons :

equation   (13.128)

Développons selon la première colonne en guise de vérification (on ne sait jamais...) :

equation   (13.129)

Le calcul déterminé ci-dessus est donc exponentiel car si par exemple nous devons calculer le déterminant d'un matrice d'ordre 10 alors le déterminant sera développé la somme de 10 termes, dont chacun contient les déterminant d'un matrice d'ordre 9, qui est un cofacteur de la matrice de départ. Si nous développons n'importe lequel de ces déterminants, nous obtenons une somme de 9 déterminants dont chacun contient le déterminant d'un matrice d'ordre 8. A ce stade, il y a donc 90 déterminants de matrices d'odre 8 à calculer. Le processus pourrait se poursuivre jusqu'à ce qu'il ne reste que des déterminants d'ordre 2. Et alors là nous devinons que le nombre de matrice d'ordre 2 est très conséquent!

Définition: Soit m, n deux entiers positifs quelconques et A une matrice equation à coefficients dans equation. Pour tout entier equation un "mineur d'ordre k" de A est un déterminant du type:

equation avec equation   (13.130)

Dans le cas particulier d'un matrice carée d'ordre equation la définition est plus simple: Le mineur equation de l'élément equation est le déterminant de la matrice d'ordre n - 1 obtenue en suppirmant la ligne i et la colonne j. Ainsi, pour calculer le mineur d'un élément, nous supprimons la ligne et la colonne auxquelles l'élément appartient, puis nous calculons le déterminant de la matrice carrée restante.

Pour finir nous terminons en donnant une formule qui relie les coefficients de l'inverse d'une matrice equation avec ces mineurs d'ordre equation.

DÉRIVÉE D'UN DÉTERMINANT

Voyons maintenant un résultat qui nous sera fort utile en relativité générale.

Soit une matrice carrée equation avec equation des fonctions dérivables. Posons equationequation. Nous voulons calculer equation. Soit equation le i-ème vecteur colonne de la matrice G. Utilisons la formule :

equation   (13.131)

Sachant que la dérivée de equation est (dérivée de n produits) :

equation   (13.132)

nous avons donc :

equation   (13.133)

Si nous regardons la première somme ci-dessus, nous remarquons que:

equation   (13.134)

equation est la dérivée du vecteur equation. De même pour les sommes suivantes. Ainsi,

equation   (13.135)

Développons encore. Considérons le terme equation ci-dessus. Si nous le développons par rapport à la première colonne, nous obtenons :

equation   (13.136)

De même, en développant le j-ème terme de la somme ci-dessus par rapport à la j-ème colonne nous avons :

equation   (13.137)

Si nous posons :

equation   (13.138)

nous obtenons :

equation   (13.139)

ce qui en notation tensorielle (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) s'écrit :

equation   (13.140)

Nous avons aussi :

equation   (13.141)

equation est le coefficient se trouvant à la j-ème ligne, i-ème colonne de la matrice equation. Si nous notons equation le coefficient i, j de la matrice equation alors :

equation et equation   (13.142)

L'expression de la dérivée devient finalement :

equation   (13.143)

qui s'écrit en notation tensorielle :

equation   (13.144)

Ce résultat, finalement assez simple, nous sera utile dans le chapitre de Calcul Tensoriel, pour construire les outils nécessaires à l'étude de la relativité générale et à la détermination de l'équation d'Einstein des champs. Il convient donc de s'en rappeler.

INVERSE D'UNE MATRICE

Terminons notre étude des déterminants avec la cerise sur le gâteau en donnant une relation très importante dans de nombreus domaines de l'ingénierie, de la physique et de la mathématique qui relie les coefficients de l'inverse d'une matrice equation avec ces mineurs d'ordre equation (nous allons utiliser cette relation plus loin).

Soit equation une matrice inversible. Notons equation et equation. Alors :

equation   (13.145)

Démonstration:

Notons equation le k-ème vecteur colonne de la matrice A. Sachant que equation, nous avons (trivial) :

equation   (13.146)

Calculons equation. D'une part en développant par rapport à la k-ème colonne nous trouvons (puisque qu'un seul des coefficients de equation est non nul et que l'unique non nul est égal à l'unité) :

equation   (13.147)

D'autre part (propriétés du déterminant) :

equation   (13.148)

Ainsi :

equation   (13.149)

c'est-à-dire :

equation   (13.150)

equationC.Q.F.D.

CHANGEMENTS DE BASES

Supposons que nous passions d'une base equation d'un espace equation à une autre base equation de ce même espace.

Décomposons les equation dans la base equation :

equation   (13.151)

Définition: Nous appelons "matrice de transition" ou "matrice de passage", la matrice (l'application linéaire) qui permet de passer de equation donnée par :

equation   (13.152)

Maintenant, considérons le vecteur donné par equation. Alors nous nous proposons de démontrer que les composantes equation de equation dans la base equation sont données par :

equation   (13.153)

ou:

equation   (13.154)

Remarque: La matrice P est inversible, car ses colonnes sont linéairement indépendantes (ce sont les vecteurs equation décomposés dans la base equation et les equation sont linéairement indépendants car ils forment une base).

Démonstration:

Prenons pour simplifier le cas equation (la démonstration étant assez facilement généralisable...) avec equation et equation.

Nous avons alors :

equation   (13.155)

Nous avons donc equation et nous cherchons à exprimer equation dans la base equation tel que equation. Nous allons chercher l'application linéaire qui relie ces deux relations telles que:

equation   (13.156)

Soit écrit de manière explicite:

equation   (13.157)

d'où :

equationequation   (13.158)

c'est-à-dire :

equation   (13.159)

Donc P est bien la matrice qui permet d'exprimer les composantes d'un vecteur d'une base en celles d'une autre base.

equationC.Q.F.D.

Considérons maintenant une application equation linéaire. Soit A sa matrice dans la base equation, et B sa matrice dans la base equation. Alors nous avons :

equation   (13.160)

Démonstration:

Reprenons:

equation   (13.161)

et posons:

equation   (13.162)

nous avons donc une fonction qui nous amène à écrire:

equation   (13.163)

D'autre part, nous avons (ce que nous avons démontré tout à l'heure) :

equation   (13.164)

Dès lors :

equation   (13.165)

d'où :

equation   (13.166)

et comme nous l'avons vu dans notre étude du déterminant, les déterminants de A, B sont égaux et donc invariants.

equationC.Q.F.D.


page suivante : 4. Valeurs et vecteurs propres