GROUPES DES PERMUTATIONS



COURS SUR ALGÉBRE ENSEMBLISTE

1. Algébre et géométrie corporelle

1.2. Groupes cycliques

1.2.1. Groupes des racines de l'unité

1.3. Groupes de transformations

1.3.1. Groupe linéaire

1.3.2. Groupe des transformations affines

1.3.3. Groupe spécial linéaire

1.3.4. Groupe orthogonal

1.3.5. Groupe spécial orthogonal

1.3.6. Groupe cercle

1.3.7. Groupe unitaire

1.3.8. Groupe spécial unitaire

1.3.9. Groupe spécial linéaire

1.4. Groupes de symétries

1.4.1. Groupe diédral

1.4.2. Orbite et stabilisateur

1.5. Groupes des permutations

1.5.1. Groupe alterné

Les groupes symétriques ont une importance non négligeable dans certains domaines de la physique quantique mais aussi en mathématiques dans le cadre de la théorie de Galois. Il convient donc d'y porter aussi une attention toute particulière.

Rappelons d'abord (cf. chapitre de Probabilités) que dans un ensemble equation il y a n! permutations possibles. Les mathématiciens disent, à juste titre, qu'il y a n! bijections et appellent ce nombre "ordre du groupe de permutations".

Prenons par exemple l'ensemble {1,2,3}. Cet ensemble à 3! permutations possibles qui sont notées dans le cadre des groupes de permutation de la manière suivante:

{(1), (1  2),(1  3),(2  3),(1  2  3),(1  3  2)}  (9.55)

Ce qui se lit dans l'ordre : application identité id, 1 amène sur 2 ou 2 sur un 1, 1 amène sur 3 ou 3 sur 1, 2 amène sur 3 ou 3 sur 2, 1 amène sur 2 qui amène sur 3 qui amène sur 1, 1 amène sur 3 qui amène sur 2 qui amène sur 1.

Soit de manière plus explicite:

equation   (9.56)

Nous pouvons observer facilement que la composition de deux permutations n'est pas commutative :

equation   (9.57)

et que la composition de deux permutations est une loi interne :

equation   (9.58)

avec un élément neutre qui est bien l'identité id. Nous avons donc bien un groupe non commutatif. Rappelons également au lecteur que certains éléments du groupe, s'ils sont bien choisis, peuvent former un sous-groupe. C'est l'exemple de :

{(1), (1  2)}  (9.59)

qui est un sous-groupe de equation (il est facile de vérifier qu'il possède toutes les propriétés d'un groupe).

Définition: Un sous-groupe H d'un groupe G est appelé "groupe distingué" si, pour tout g de G et tout h de H, nous avons equation qui est élément de H. Les mathématiciens appellent cela un "automorphisme intérieur"...

Voyons d'abord un exemple géométrique parlant après quoi nous reviendrons à cette définition avec equation.

exempleExemple:

Nous avons vu plus haut les éléments du groupe de symétrie diédral d'ordre 3 du triangle équilatéral. Géométriquement ils correspondent tous à des déplacements du plan dans lequel se trouve le triangle. Nous avions obtenu pour rappel le tableau de composition suivant :

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

Tableau: 9.3  - Compositions de transformations du tétraèdre

D'abord, nous constatons facilement à l'aide de ce tableau que nous avons :

- Le sous-groupe formé de {id} d'ordre 1

- Le sous-groupe formé de equation d'ordre 3

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de  equation d'ordre 2

Parmi ces 5 sous-groupes, voyons lesquels sont distingués (cela est relativement facile à visualiser à l'aide du tableau de composition) :

- Le sous-groupe formé de {id}

- Le sous-groupe formé de equation

Nous allons voir maintenant une chose remarquable! En numérotant par 1,2 et 3 les sommets du triangle équilatéral, nous pouvons identifier les éléments de equation aux éléments suivants de equation :

equation   (9.60)

et reconstruire la même table de composition!

Bon... ce petit interlude fermé, revenons au groupe distingué de equation (car il va être important pour notre introduction aux groupe de Galois) et rappelons d'abord que :

equation   (9.61)

Nous construisons joyeusement la table de composition (copie de la précédente.. hé hé!)  :

equation

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1)

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1 2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

(2 3)

(1 2)

(1 3)

(1 3 2)

(1 3 2)

(1)

(1 2 3)

(1 3)

(2 3)

(1 2)

(1 2)

(1 2)

(1 3)

(2 3)

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1 3)

(1 3)

(2 3)

(1 2)

(1 3 2)

(1)

(1 2 3)

(2 3)

(2 3)

(1 2)

(1 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

Tableau: 9.4  - Composition du groupe distingué

et nous voyons que le sous-groupe distingué est formé de :

equation   (9.62)

Définition: Pour tout sous-groupe H stable par les automorphismes intérieurs d'un groupe G, nous appelons "indice de H dans G" le quotient de l'ordre du groupe G par l'ordre du sous-groupe H et nous l'écrivons [G/H].

Par exemple, l'indice du sous-groupe {(1), (1  2)}dans le groupe equation est 6/2 c'est-à-dire 3. Ce concept nous sera très utile lors de notre introduction aux corps de Galois plus loin.

Considérons maintenant, la permutation particulière equation pour aborder le sujet sous un angle différent mais équivalent :

equation   (9.63)

Les mathématiciens ont pour habitude de noter cela, dans un premier temps, sous la forme :

equation   (9.64)

avec :

equation   (9.65)

Etant donné equation et equation, deux permutations, il est naturel de regarder leur composition equation (rappelons que cela signifie d'abord equation, puis equation comme pour la composition de fonctions).

Ainsi, si :

equation et equation   (9.66)

Alors :

equation   (9.67)

et :

equation   (9.68)

Maintenant, l'idée est d'interpréter la composition comme une multiplication de permutations. Cette multiplication est alors non-commutative comme nous venons de le constater dans l'exemple précédent. Nous avons en général equation.

Chaque bijection a un inverse (une fonction réciproque). Dans notre exemple il s'agit de évidemment de :

equation   (9.69)

Géométrique, pour calculer l'inverse equation d'un élément equation, il suffit de prendre la réflexion du dessin deequation dans un axe horizontal comme le montre la partie gauche de la figure ci-dessous:

equation
  (9.70)

Définitions:

D1. L'ensemble des permutations d'un ensemble avec n éléments, muni de cette structure de multiplication, s'appelle le "groupe des permutations d'ordre n" ou "groupe des substitutions d'ordre n", et se note equation ou encore S(n).

D2. Nous disons qu'un élément equation de equation est un "cycle d'ordre k", ou un "k-cycle", s'il existe equation tel que :

- equation envoie equation sur equation, equation sur equation,...,equation sur equation, et equation sur equation

- equation fixe tous les autres éléments de equation

et nous notons le cycle de la manière equation.

Pour mieux comprendre reprenons notre exemple de equation:

equation   (9.71)

Ce groupe symétrique est un 3-cycle noté equation car dans l'ordre : 1 envoie sur 3, 3 envoie sur 4 et 4 envoie sur 1 (et le 2 n'étant pas mentionné il reste fixe). Nous pouvons noter cela aussi des façons suivantes équivalents : equation ou encore equation.

Définition: L'ordre d'un k-cycle est k (d'où le nom!).

Effectivement si nous reprenons equation, nous avons alors :

equation et  equation   (9.72)

Définition: Nous disons qu'une permutation equation est un "cycle" s'il existe equation tel que equation est un k-cycle.

Attention! Toute permutation doit s'écrire comme un produit de cycles disjoints (c'est-à-dire qu'un nombre qui apparaît dans un cycle ne doit pas apparaître dans un autre cycle). Par exemple, dans equation, nous avons :

equation   (9.73)

Donc cette permutation est un produit d'un 4-cycle et d'un 3-cycle disjoint.

Nous laisserons d'ailleurs le lecteur vérifier par lui-même que l'ordre de ce groupe equation est 12...

Remarque: Les mathématiciens peuvent démontrer que si equation est un élément qui a une décomposition en c cycles disjoints de longueur equation alors l'ordre de equation est le plus petit commun multiple des ordres de tous les cycles disjoints qui le compose.

Nous supposerons également intuitif que dans le vocabulaire commun, un 2-cycle dans equation s'appelle aussi une "transposition".

Allons un petit peu plus loin. Nous nous proposons de montrer par l'exemple que l'ensemble des transpositions engendre equation. Autrement, dit, toute permutation s'écrit comme un produit de transpositions.

Reprenons notre exemple (il s'agit d'une permutation paire) :

equation   (9.74)

En général, un k-cycle s'écrit donc comme produit de k-1 transpositions.

Définition: Soit equation une permutation. Nous disons que equation est "permutation paire" si, dans une écriture de equation comme produit de transposition, il y a un nombre paire de transpositions. Nous disons que equation est "permutation impaire" si, dans une écriture de equation comme produit de transpositions, il y a un nombre impaire de transpositions.

Finissons par un petit complément... Nous avons que equation est un groupe des permutations d'ordre 3 avec donc 3!=6 permutations possibles.

Si nous énumérons les 6 permutations nous avons vu que nous obtenons :

{(1), (1  2),(1  3),(2  3),(1  2  3),(1  3  2)}   (9.75)

Parmi ceux-ci seulement certains peuvent être écrit comme un produit pair de transpositions :

(1  2  3)=(1  2)(3  1) et (1  3  2)=(1  3)(2  1)   (9.76)

Les permutations paires forment avec la permutation identité id, un sous-groupe (non commutatif) que nous appelons le "groupe alterné d'ordre n" et que nous notons equation. C'est facile de le vérifier avec l'exemple précédent.