GROUPES DE SYMÉTRIES



COURS SUR ALGÉBRE ENSEMBLISTE

1. Algébre et géométrie corporelle

1.2. Groupes cycliques

1.2.1. Groupes des racines de l'unité

1.3. Groupes de transformations

1.3.1. Groupe linéaire

1.3.2. Groupe des transformations affines

1.3.3. Groupe spécial linéaire

1.3.4. Groupe orthogonal

1.3.5. Groupe spécial orthogonal

1.3.6. Groupe cercle

1.3.7. Groupe unitaire

1.3.8. Groupe spécial unitaire

1.3.9. Groupe spécial linéaire

1.4. Groupes de symétries

1.4.1. Groupe diédral

1.4.2. Orbite et stabilisateur

1.5. Groupes des permutations

1.5.1. Groupe alterné

Le groupe de symétrie d'un objet noté X (image, signal, etc. en 1D, 2D ou 3D) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles il est invariant avec la composition en tant qu'opération.

Tout groupe de symétrie dont les éléments ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les groupes de symétrie de figures limitées, peut être représenté comme un sous-groupe du groupe orthogonal O(n) en choisissant l'origine pour point fixe. Le groupe de symétrie propre est alors un sous-groupe du groupe orthogonal spécial SO(n), et par conséquent, il est aussi appelé le groupe de rotation de la figure.

Dans ce qui suit, nous allons interpréter la composée de deux opérations de symétrie comme une multiplication au même titre que pour les permutations.

Définition: Le groupe des symétries de X est l'ensemble des symétries de X, muni de la structure de multiplication donnée par composition.

exempleExemples:

E1. Le coeur equation à un groupe de symétries a deux éléments (d'ordre deux), à savoir l'application identité id, et l'application equation : réflexion dans l'axe vertical. Nous observons que le symétrique via la relation equation.

E2. La lettre equation à un groupe de symétries à quatre éléments, c'est donc un groupe de symétrie d'ordre 4, à savoir l'application idendité id, les deux réflexions equation et equation et la rotation par l'angle equationque nous noterons equation.

Dans ce groupe nous avons par exemple equation (et c'est commutatif), equation est la rotation par un angle equation, ce qui est la même application que l'application identique, donc equation.

Ainsi, le groupe de symétrie de cette lettre est commutatif et la loi de composition est bien interne. C'est donc bien un groupe.

E3. Le pentagone régulier equation à un groupe de symétries à 10 éléments, c'est donc un groupe de symétrie d'ordre 10, à savoir les 5 rotations equation ainsi que les 5 réflexions dans les 5 axes de symétrie.

Les règles de multiplication sont un peu compliquées dans cet exemple mais nous pouvons néanmoins observer que la composition est toujours une opération interne (le produit de deux réflexions est toujours une rotation par exemple).

Plus généralement, le groupe de symétries d'un n-gone régulier (si n est impaire) a exactement 2n éléments. Ce groupe s'appelle le "groupe diédral d'ordre n" est noté equation.

E4. Nous reviendrons sur cet exemple lorsque nous introduirons un peu plus loin le concept de groupe distingué lors de notre étude des groupes de permutations et la définition des groupes distingués.

Le groupe diédral equation d'ordre 3 des isométries d'un triangle équilatéral à 6 éléments que nous noterons (afin que l'écriture soit moins lourde) :

equation   (9.48)

où  equation sont les symétries par rapports au trois bissectrices (respectivement médiatrices). La table de composition de ce groupe diédral montre aussi que ce groupe est non-commutatif :

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

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equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

Tableau: 9.1  - Symétries du groupe diédral d'ordre 3

E5. Regardons un dernier exemple appliqué à la chimie en énumérant les opérations de symétrie qui laissent la molécule equation (tétraèdre) invariante.

Le groupe de transformation contient 6 éléments : l'identité id, equation qui est la rotation de equation, equation la rotation de equation (que nous noterons par la suite equation) toutes deux selon l'axe Z (perpendiculaire au plan XY donc...) et 3 axes equation de symétrie/réflexion passant chacun par le milieu d'un des arêtes de base au milieu de l'arête opposée comme le montre la figure ci-dessous (pyramide vue du dessus) :

 equation
  (9.49)

La combinaison des différents éléments de symétrie montre que la table de composition est (ce qui prouve que la loi est interne et que nous travaillons donc bien dans un groupe) :

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

equation

equation

equation

equation

id

equation

Tableau: 9.2  - Compositions de transformations du tétraèdre

Attention à l'ordre, nous appliquons d'abord l'élément de ligne puis l'élément de colonne. Nous constatons que le groupe n'est donc pas commutatif.

ORBITE ET STABILISATEUR

Nous allons voir maintenant deux définitions que nous retrouverons en cristallographie (leur nom n'est pas innocent!).

Définition: L'orbite d'un élément x de E est donnée par:

equation   (9.50)

L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E) susceptibles d'être occupées par l'image de x sous l'action de G. Les orbites forment évidemment une partition de E.

exempleExemple:

Considérons un ensemble E sur lequel agit un groupe G, par:

equation   (9.51)

l'ensemble des 6 sommets d'un hexagone sur lequel nous faisons agir le groupe equation. Nous observons déjà trivialement que G  est bien un groupe!

Maintenant, prenons un élément de E, par exemple equation.

Son orbite va donc être par définition:

equation   (9.52)

Définition: Le stabilisateur x d'un élément de E est l'ensemble:

equation   (9.53)

des éléments qui laissent x invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de G.

Pour reprendre notre exemple précédent. Son stabilisateur va être réduit à:

equation   (9.54)


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